リプレイスメント・レベルの算定とWAR配分

本稿は、NPBとMLBの過去データを参照しつつ、リプレイスメント・レベル（以下、Repレベル）を勝率ベースで定量化し、NPBのWAR配分（野手／投手、先発／救援）について提案する。

リプレイスメント・レベルの概念についてはここでは割愛する。気になる方はこちらをご参照いただきたい。

ピタゴラス勝率の前提
Rep勝率の定義
キース・ウールナー法
野手のRep勝率
投手のRep勝率
チームのRep勝率
NPBのWARバランス草案
最後に

ピタゴラス勝率の前提

本題に入る前に、以降の計算で用いるピタゴラス勝率について触れておく。ピタゴラス勝率とは、得点と失点でチームの勝率を予測する計算式であり、Eq.1の式で表される。ここでδは任意の値をとり、実測値とのフィッティングで決定する。

f:id:bo-no05:20210206214359p:plain — Eq.1 ピタゴラス勝率の計算式

MLBではδ=1.83が最も予測精度が高くなる*1と言われており、2000-2009年までのNPBの分析ではδ＝1.65が最も精度が高いという結果が得られている*2。2014-2024年のNPBでフィッティングを行ったところ、δ=1.64となり、NPBの先行研究とほぼ一致する結果が得られた。今回は、δ=1.7を採用する。

Rep勝率の定義

Rep勝率とは、Repレベルの選手で構成されるチームが平均的なチームと対戦したときの期待勝率である。例えば、Repレベルの野手の得点力が平均野手と比べて0.75倍だった場合、「Repレベルの野手と平均的な投手で構成されたチーム」と「全選手が平均的なチーム」が対戦したときの勝率は

0.75^1.7/(0.75^1.7+1.0^1.7) = .380

この.380を「野手のRep勝率」と呼ぶ。Repレベルを勝率という形で表現することで、得点環境に依存しない普遍的な尺度となる。以降、Rep勝率ベースで算定を行う。

キース・ウールナー法

Repレベルの推定に最も広く使われているのが、キース・ウールナーによる手法である。具体的には、チームの野手を打席数が多い順に並べ、上位の選手をレギュラー、残りを控え選手としてみなす。この手法をKeith Woolner法（KW法）と呼んでおく。

野手のRep勝率

KW法でNPBのRepレベルの野手のwOBAを集計すると、平均野手の0.88倍が得られる*3。得点比に換算すると、0.713倍*4 となる。Rep勝率を求めると、

0.713^1.7/(0.713^1.7+1.0^1.7) = .360

Tom Tango氏によるMLBの分析では野手Rep勝率=.380が得られている*5。

投手のRep勝率

野手と同じく、KW法でNPBのRepレベル投手のtRAを集計すると、平均投手の1.19倍が得られる*6。よって、投手のRep勝率は

1.0^1.7/(1.0^1.7+1.19^1.7) = .427

Tom Tango氏によるMLBの分析では投手Rep勝率=.410が得られている*7。

チームのRep勝率

これまで得られたデータから、投手と野手ともにRepレベルの選手で構成されたチームが平均的なチームと対戦した場合の勝率を計算してみる。MLBの分析値である野手Rep勝率.380と投手Rep勝率.410を使って、Fig.2のような計算で求めると.290になる。したがって、チームRep勝率は.290である。NPBの分析値である野手Rep勝率.360と投手Rep勝率.427では、チームRep勝率は.287となる。

NPBのWARバランス草案

ここまで得られた算定値を以下にまとめる。

チームRep勝率：NPB分析 .287、MLB分析 .290
野手Rep勝率：NPB分析 .360、MLB分析 .380
投手Rep勝率：NPB分析 .427、MLB分析 .410

NPB値とMLB値を細かく比較すると若干の差異がみられる。同じリーグ内の分析でも分析前提によって勝率が0.050程度変動する*8ことから、これを有意差と判断するには慎重になる必要がある。大きな傾向としては一致しており、顕著な差はないということは言えるだろう。

ここで、Rep勝率を使ってNPB全体のWARバランスについて考えてみる。
チームRep勝率は、実際にアメリカの各機関（FanGraphs、Baseball-Reference、Baseball Prospectus）で使われている.294*9を使用する。理由としては、WARの"ベースライン"となるチームRep勝率を各機関と統一化することでWAR計算の標準化を図るためである。同様の理由で、野手Rep勝率は.380、投手Rep勝率は.410を使用する。

平均的なチーム（勝率.500のチーム）に期待される年間勝利数は 143*0.5 = 71.5勝である。一方で、野手と投手ともにRepレベルの選手で構成されたチームの場合、143*0.294=42 勝となる。したがって、平均的なチームの総WARは 71.5-42=29.5 WARとなる。NPB全体に適用すれば、NPB全体の総WARは 29.5 × 12 = 354 WARとなる。一の位を切りのいい数字にまとめれば、 350 WARとなる。

次に350 WARを野手と投手に分配する。分配比率の求め方は以下の通り。
平均的なチームの野手をRepレベルの野手に入れ替えると、勝利の損失は1試合当たり 0.500 - 0.380 = 0.120 勝。平均的なチームの投手をRepレベルの投手に入れ替えると、勝利損失は 0.500 - 0.410 = 0.09 勝となり、チーム全体に与える影響は野手よりも小さい。影響度を比率で表すと、野手：投手＝ 57：43 であり、これをWARの分配比率として採用する。よって、野手WARは 350 × 0.57 = 200 WAR、投手WARは 350 × 0.43 = 150 WAR。

以上より、NPBにおけるWAR配分は以下を提案する。

総WAR：350 WAR

野手WAR：200 WAR

投手WAR：150 WAR

各選手への分配は野手は打席ベース、投手は投球回ベースで行う。